¿Qué es una función?

Una función relaciona una entrada con una salida.

Es como una máquina que tiene una entrada y una salida. Y la salida está relacionada de alguna manera con la entrada.

Entrada, relación, salida

             

Veremos muchas formas de pensar sobre las funciones, pero siempre hay tres partes principales:

• La entrada
• La relación
• La salida

             

Algunos ejemplos de funciones

x ² (cuadrar) es una función
x ³ +1 también es una función
Seno, coseno y tangente son ​​funciones utilizadas en trigonometría
¡y hay muchos más!

 

Pero no vamos a ver funciones específicas …
… en su lugar, veremos la idea general de una función.

Nombres

Primero, es útil dar a una función un nombre .

El nombre más común es “ f “, pero podemos tener otros nombres como “ g ” … o incluso “ mermelada ” si queremos.

Pero usemos “f”:

Decimos “f de x es igual a x al cuadrado”

lo que entra en la función se pone entre paréntesis () después del nombre de la función:

Entonces f (x) nos muestra que la función se llama “ f ” y “ x “va en

Y generalmente vemos lo que hace una función con la entrada:

f (x) = x ² nos muestra esa función “ f ” toma “[ 19459039] x “y lo ajusta al cuadrado.

                           

¡La “x” es solo un marcador de posición!

                           

No te preocupes demasiado por “x”, solo está allí para mostrarnos dónde va la entrada y qué le sucede.

                           

¡Podría ser cualquier cosa!

 

                         

A veces no hay nombre de función

A veces una función no tiene nombre, y vemos algo como:

y = x ²

Pero todavía hay:

• una entrada (x)
• una relación (cuadratura)
• y una salida (y)

Relacionado

En la parte superior dijimos que una función era como una máquina. Pero una función realmente no tiene correas o engranajes ni partes móviles, ¡y en realidad no destruye lo que le ponemos!

Una función relaciona una entrada a una salida.

Decir “ f (4) = 16 ” es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 16. O 4 → 16

¿Qué tipos de cosas procesan las funciones?

	… ¿qué números? Por ejemplo, la función de altura del árbol h (edad) = edad × 20 no tiene sentido para una edad inferior a cero.
	… también podría ser letras (“A” → “B”), o códigos de identificación (“A6309” → “Pase”) o cosas más extrañas.

Entonces necesitamos algo más poderoso , y ahí es donde entra :

Cada elemento individual en el conjunto (como “4” o “sombrero”) se llama miembro o elemento .

Entonces, una función toma elementos de un conjunto y devuelve elementos de un conjunto .

Una función es especial

Pero una función tiene reglas especiales :

 

• Debe funcionar para cada valor de entrada posible
• Y solo tiene una relación para cada valor de entrada

   

   

Esto se puede decir en una definición:

¡Las dos cosas importantes!

                           

                             

                             

         

       

1.

“… cada elemento …” significa que cada elemento en X está relacionado con algún elemento en Y .                                 Decimos que la función cubre X (relaciona cada elemento de la misma).                                   (Pero algunos elementos de Y podrían no estar relacionados en absoluto, lo cual está bien.)

                           

                             

                             

                           

       

2.	“… exactamente uno …” significa que una función es de valor único . No devolverá 2 o más resultados para la misma entrada.                               Entonces “f (2) = 7 o 9″ no está bien.

                     

                          

             

                           

                             

                             

                             

                           

                           

                             

                             

                             

                           

                           

                             

                             

                             

                           

       

“Uno a muchos” no está permitido, pero “muchos a uno” está permitido:
(uno a muchos)		(muchos a uno)
Esto es NO OK en una función		Pero esto es OK en una función

Cuando una relación no sigue esas dos reglas, entonces no es una función … sigue siendo una relación , simplemente no es una función.

 

 

Prueba de línea vertical

En un gráfico, la idea de de valor único significa que ninguna línea vertical cruza nunca más de un valor.

Si cruza más de una vez sigue siendo una curva válida, pero no es una función .

Algunos tipos de funciones tienen reglas más estrictas, para obtener más información puede leer Inyectiva, Surjectiva y Biyectiva

Infinitamente muchos

Mis ejemplos tienen solo unos pocos valores, pero las funciones generalmente funcionan en conjuntos con infinitos elementos.

 

Dominio, codominio y rango

En nuestros ejemplos anteriores

• el conjunto “X” se llama Dominio ,
• el conjunto “Y” se llama Codominio y
• el conjunto de elementos que se apuntan en Y (los valores reales producidos por la función) se denomina Rango .

Tenemos una página especial sobre Dominio, Rango y Codominio si desea saber más.

¡Tantos nombres!

Las funciones se han utilizado en matemáticas durante mucho tiempo, y se han creado muchos nombres y formas diferentes de escribir funciones.

Estos son algunos términos comunes con los que debe familiarizarse:

 

A menudo llamamos a una función “f (x)” cuando en realidad la función es realmente “f”

Pares ordenados

Y aquí hay otra forma de pensar sobre las funciones:

Escriba la entrada y salida de una función como un “par ordenado”, como (4,16).

Se llaman pares ordenados porque la entrada siempre viene primero y la salida después:

(entrada, salida)

Entonces se ve así:

( x , f (x) )

Conjunto de pares ordenados

Una función se puede definir como un conjunto de pares ordenados:

Pero la función tiene que ser de valor único , por lo que también decimos

“si contiene (a, b) y (a, c), entonces b debe ser igual a c”

Lo cual es solo una forma de decir que una entrada de “a” no puede producir dos resultados diferentes.

Un beneficio de pares ordenados

Podemos graficarlos …

… ¡porque también son coordenadas !

Entonces, un conjunto de coordenadas también es una función (si siguen
las reglas anteriores, es decir

Una función puede estar en piezas

Podemos crear funciones que se comporten de manera diferente según el valor de entrada

Lea más en Funciones por partes .

Explícito vs implícito

Un último tema: los términos “explícito” e “implícito”.

Explícito es cuando la función nos muestra cómo ir directamente de xay, como:

Ese es el estilo clásico y = f (x) con el que a menudo trabajamos.

Implícito es cuando es no dado directamente como:

 

Puede ser difícil (¡o imposible!) Ir directamente de x a y.

“Implícito” viene de “implícito”, en otras palabras, se muestra indirectamente .

Gráficos

• La Function Grapher solo puede manejar funciones explícitas,
• La Ecuación Grapher puede manejar ambos tipos (pero lleva un poco más de tiempo y a veces se equivoca).

Conclusión