Actividad: La aguja de Buffon

Cómo estimar Pi soltando una coincidencia.

Hace unos cientos de años la gente disfrutaba apostando en monedas arrojadas al suelo : ¿cruzaría la moneda una línea o no?

 

coin 1750

Un hombre (Georges-Louis Leclerc, el conde de Buffon ) comenzó a pensar en esto y calculó la probabilidad .

Se llama “La aguja de Buffon” en su honor.

¡Ahora es tu turno de intentarlo!

Necesitarás:

buffons needle

Un partido , con la cabeza cortada.
Debe ser inferior a 50 mm.

(¡Puedes usar una aguja, pero ten cuidado!)

buffons needle grid

Una hoja de papel con líneas separadas 50 mm.

Pasos

  • Mida el espaciado de sus líneas (puede que no se imprima exactamente a 50 mm): ____ mm
  • Mida la longitud de su coincidencia (debe ser menor que el espacio entre líneas): ____ mm
  • Asegúrate de que tu hoja de papel esté sobre una superficie plana, como una mesa o el piso.
  • Desde una altura de unos 5 cm, suelte el fósforo en el papel y registre si cae:

    A: No tocar una línea

    B: Tocando o cruzando una línea

    buffons needle A B

La altura exacta desde la que sueltas el partido no es importante, ¡pero no la dejes tan cerca del papel que estás haciendo trampa!

 

Si la cerilla sale completamente del papel, entonces no cuentes ese turno.

100 veces

Ahora dejaremos caer el partido 100 veces, pero primero …

… ¿qué porcentaje crees que aterrizará A o B?

Adivina (estima) antes de comenzar el experimento:

Su conjetura para “A” (%):
Su conjetura para “B” (%):

OK comencemos .

Suelta el partido 100 veces y registra A (no toca una línea de cuadrícula) o B (toca o cruza una línea de cuadrícula) usando Marcas de conteo :

tierras del partido Cuenta Frecuencia Porcentaje
A

(sin contacto)

B

(cruces)

Totales: 100 100%

Ahora dibuje un Gráfico de barras para ilustrar sus resultados. Puede crear uno en Gráficos de datos (Bar, Line y Pie) .

  • ¿Las barras tienen la misma altura?
  • ¿Esperabas que lo fueran?
  • ¿Cómo se compara el resultado con tu suposición?

Ahora vamos a estimar Pi

 

Buffon usó los resultados de su experimento con una aguja para estimar el valor de π ( Pi ). Desarrolló esta fórmula:

 

π 2L xp

 

Donde

 

  • L es la longitud de la aguja (o partido en nuestro caso)
  • x es el espacio entre líneas (50 mm para nosotros)
  • p es la proporción de agujas que cruzan una línea (caso B)

 

¡Nosotros también podemos hacerlo!

 

Ejemplo: Sam tenía una coincidencia de longitud de 31 mm y un espacio entre líneas de 40 mm y 49 de 100 gotas cruzaron la línea

Entonces Sam tenía:

  • L = 31
  • x = 40
  • p = 49/100 = 0,49

Sustituyendo estos valores en la fórmula, Sam obtuvo:

 

π 2 × 31 40 × 0,49 ≈ 3,16

 

 

Ahora es tu turno. Complete la siguiente tabla con sus propios resultados :
 

 

 

Longitud del partido “ L ” (mm):
Espaciado de línea “ x ” (mm):
p (la proporción de agujas que cruzan una línea):

 

Y haz el cálculo:

 

π
2L
XP
 

2 × _____
_____ × _____
 
≈ _____

 

¿Lo hiciste mejor?

 

No será exacto (porque es algo aleatorio) pero puede estar cerca.

 

Cambio de tema

 

La siguiente parte de esta actividad es ” cambiar el tema ” de la fórmula para calcular el valor perfecto de “p” (la proporción de veces que el partido cruza la línea):

 

Comience con: π ≈ 2L / xp

 

multiplica ambos lados por p: π p 2L / x

 

divide ambos lados entre π : p 2L / π x [19459041 ]

 

 

Y obtenemos:

 

p ≈
2L
π x
 

 

Ejemplo: Alex tenía una coincidencia de longitud de 36 mm y un espacio entre líneas de 50 mm.

Entonces Alex tenía:

  • L = 36
  • x = 50

Sustituyendo estos valores en la fórmula, Alex obtuvo:

p ≈
2 × 36
π × 50
≈ 0,46 …

Así que Alex debería esperar que el partido cruce la línea (caso B) 46 de cada 100 veces

 

 

Complete la siguiente tabla con sus propios resultados :
 

Longitud del partido “L” (mm):
Espaciado de línea “x” (mm):
Estimación para p (≈ 2L / π x):

¿Qué tan cerca estabas?

Diferentes tamaños de partido

Intenta repetir el experimento usando una coincidencia de diferente tamaño (¡pero no más grande que el espacio entre líneas!)

  • ¿Obtuviste mejores o peores resultados?

Lo que has hecho

Te has divertido (con suerte) ejecutando un experimento .

Has tenido alguna experiencia con cálculos.

Y has visto la relación entre teoría y realidad.