Teorema de Bayes

¡Bayes puede hacer magia!

¿Alguna vez se preguntó cómo las computadoras aprenden acerca de las personas?

El teorema de Bayes es una forma de encontrar una probabilidad cuando conocemos ciertas otras probabilidades.

La fórmula es:

 

P (A | B) = P (A) P (B | A) P (B)

 

 

 

 

 

Lo que nos dice:		con qué frecuencia sucede A dado que B sucede , escrito P (A | B) ,
Cuando sabemos:		con qué frecuencia sucede B dado que sucede A , escrito P (B | A)
		y cuán probable es que A esté solo, escrito P (A)
		y la probabilidad de que B esté solo, escrito P (B)

 

 

Digamos que P (Fuego) significa con qué frecuencia hay fuego, y P (Humo) significa con qué frecuencia vemos humo, entonces:

P (Fuego | Humo) significa con qué frecuencia hay fuego cuando podemos ver humo
P (Humo | Fuego) significa con qué frecuencia podemos ver humo cuando hay fuego

Entonces la fórmula nos dice “hacia adelante” P (Fuego | Humo) cuando sabemos “hacia atrás” P (Humo | Fuego)

Solo 4 números

Imagina a 100 personas en una fiesta, y cuentas cuántos visten de rosa o no, y si eres hombre o no, y obtienes estos números:

¡El teorema de Bayes se basa solo en esos 4 números!

Hagamos algunos totales:

Y calcule algunas probabilidades:

• la probabilidad de ser hombre es P (Hombre) = 40 100 = 0,4
• la probabilidad de usar rosa es P (rosa) = 25 100 = 0.25
• la probabilidad de que un hombre use rosa es P (Rosa | Hombre) = 5 40 = 0.125
• la probabilidad de que una persona vestida de rosa sea un hombre P (Hombre | Rosa) = …

 

¡Y luego llega el cachorro! Qué lindo perrito.

¡Pero todos sus datos están recortados ! Solo sobreviven 3 valores:

• P (Hombre) = 0,4,
• P (rosa) = 0,25 y
• P (Rosa | Hombre) = 0,125

¿Puedes descubrir P (Hombre | Rosa) ?

Imagina que un invitado vestido de rosa deja dinero atrás … ¿fue un hombre? Podemos responder esta pregunta usando el Teorema de Bayes:

P (Hombre | Rosa) = P (Hombre) P (Rosa | Hombre) P (Rosa)

P (Hombre | Rosa) = 0.4 × 0.125 0.25 = 0.2

  Nota: si todavía tuviéramos los datos sin procesar podríamos calcular directamente 5 25 = 0.2

Siendo general

¿Por qué funciona?

Reemplacemos los números con letras:

Ahora veamos las probabilidades . Entonces tomamos algunas proporciones:

• la probabilidad general de “A” es P (A) = s + t s + t + u + v
• la probabilidad de “B dada A” es P (B | A) = s s + t

Y luego multiplícalos juntos de esta manera:

Ahora hagamos eso nuevamente pero use P (B) y P (A | B) :

Ambas formas obtienen el mismo resultado de s s + t + u + v

Entonces podemos ver que:

P (B) P (A | B) = P (A) P (B | A)

Agradable y simétrico, ¿no?

 

En realidad, tiene que ser simétrico ya que podemos intercambiar filas y columnas y obtener la misma esquina superior izquierda.

Y también es Bayes Formula … solo divide ambos lados por P (B):

Recordando

Primero piensa “AB AB AB”, luego recuerda agruparlo como: “AB = A BA / B”

 

P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | | | ] A ) P ( B )

 

Alergia a los gatos?

Uno de los usos famosos del Teorema de Bayes es Positivos falsos y falsos negativos .

Para aquellos tenemos dos casos posibles para “A”, como Pase / Fallo (o Sí / No, etc.)

Queremos saber la posibilidad de tener alergia cuando la prueba dice “Sí”, escrita P (Alergia | Sí)

Obtengamos nuestra fórmula:

 

P (Alergia | Sí) = P (Alergia) P (Sí | Alergia) P (Sí)

 

• P (alergia) es probabilidad de alergia = 1%
• P (Sí | Alergia) es Probabilidad de que la prueba diga “Sí” para personas con alergia = 80%
• P (Sí) es Probabilidad de que la prueba diga “Sí” (a cualquiera) = ??%

¡Oh no! Nosotros no sabemos cuál es la posibilidad general de la prueba que dice “Sí” es …

… pero podemos calcularlo sumando los con y los sin la alergia:

• 1% tiene alergia, y la prueba dice “Sí” al 80% de ellos
• El 99% no tiene alergia y la prueba dice “Sí” al 10% de ellos

Agreguemos eso:

P (Sí) = 1% × 80% + 99% × 10% = 10.7%

Lo que significa que aproximadamente el 10.7% de la población obtendrá un resultado “Sí”.

Entonces ahora podemos completar nuestra fórmula:

 

P (Alergia | Sí) = 1% × 80% 10.7% = 7.48%

 

P (Alergia | Sí) = aproximadamente 7%

Este es el mismo resultado que obtuvimos en Falsos positivos y falsos negativos .

De hecho, podemos escribir una versión especial de la fórmula de Bayes solo para cosas como esta:

 

P (A | B) = P (A) P (B | A) P (A) P (B | A) + P (no A) P ( B | no A)

 

“A” con tres (o más) casos

Acabamos de ver “A” con dos casos (A y no A), de los cuales nos ocupamos en el resultado final.

Cuando “A” tiene 3 o más casos, los incluimos todos en la línea inferior:

 

P (A1 | B) = P (A1) P (B | A1) P (A1) P (B | A1) + P (A2) P (B | A2) + P (A3) P (B | A3) + … etc