Variables aleatorias
Una variable aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo: lanzar una moneda: podríamos obtener cara o cruz.
Vamos a darles los valores Cabezas = 0 y Colas = 1 y tenemos una variable aleatoria “X”:
En resumen:
X = {0, 1}
Nota: ¡Podríamos elegir Heads = 100 y Tails = 150 u otros valores si queremos! Es nuestra eleccion.
Entonces:
- Tenemos un experimento (como lanzar una moneda)
- Damos valores a cada evento
- El conjunto de valores es una variable aleatoria
No como una variable de álgebra
En Álgebra una variable, como x, es un valor desconocido:
Ejemplo: x + 2 = 6
En este caso podemos encontrar que x = 4
Pero una variable aleatoria es diferente …
Una variable aleatoria tiene un conjunto completo de valores …
… y podría tomar cualquiera de esos valores, al azar.
Ejemplo: X = {0, 1, 2, 3}
X podría ser 0, 1, 2 o 3 al azar .
Y cada uno podría tener una probabilidad diferente.
Letras mayúsculas
Utilizamos una letra mayúscula, como X o Y , para evitar confusiones con el tipo de variable Álgebra.
Espacio de muestra
El conjunto de valores de una variable aleatoria es el Espacio de muestra.
Ejemplo: tirar un dado una vez
Variable aleatoria X = “La puntuación que se muestra en la cara superior”.
X podría ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6
Entonces el espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidad
Podemos mostrar la probabilidad de cualquier valor usando este estilo:
P (X = valor) = probabilidad de ese valor
Ejemplo (continuación): tira un dado una vez
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En este caso ellos
son todos igualmente probables, por lo que la probabilidad de cualquiera es 1/6
- P (X = 1) = 1/6
- P (X = 2) = 1/6
- P (X = 3) = 1/6
- P (X = 4) = 1/6
- P (X = 5) = 1/6
- P (X = 6) = 1/6
Tenga en cuenta que la suma de las probabilidades = 1 , como debería ser.
Ejemplo: ¿Cuántas caras cuando lanzamos 3 monedas?
X = “El número de cabezas” es la variable aleatoria.
En este caso, podría haber 0 cabezas (si todas las monedas
Colas hacia arriba), 1 cabeza, 2 cabezas o 3 cabezas.
Entonces el espacio muestral = {0, 1, 2, 3}
Pero esta vez los resultados NO son todos iguales
probable.
Las tres monedas pueden aterrizar de ocho maneras posibles:
| X = “Número de cabezas “ |
|||
| HHH | |
3 | |
| HHT | |
2 | |
| HTH | |
2 | |
| HTT | |
1 | |
| THH | |
2 | |
| THT | |
1 | |
| TTH | |
1 | |
| TTT | |
0 | |
Mirando la tabla vemos solo 1 caso de Three Heads, pero 3 casos de Two Heads, 3 casos de One Head y 1 caso de Zero Heads. Entonces:
- P (X = 3) = 1/8
- P (X = 2) = 3/8
- P (X = 1) = 3/8
- P (X = 0) = 1/8
Ejemplo: se lanzan dos dados.
La variable aleatoria es X = “La suma de
puntajes en los dos dados “.
Hagamos una tabla de todos los valores posibles:
| 1er dado | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
|
2do |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
Hay 6 × 6 = 36 posibles resultados, y el espacio muestral (que es la suma de los
puntajes en los dos dados) es {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12}
Cuentemos con qué frecuencia ocurre cada valor y calculemos las probabilidades:
- 2 ocurre solo una vez, entonces P (X = 2) = 1/36
- 3 ocurre dos veces, entonces P (X = 3) = 2/36 = 1/18
- 4 ocurre tres veces, entonces P (X = 4) = 3/36 = 1/12
- 5 ocurre cuatro veces, entonces P (X = 5) = 4/36 = 1/9
- 6 ocurre cinco veces, entonces P (X = 6) = 5/36
- 7 ocurre seis veces, entonces P (X = 7) = 6/36 = 1/6
- 8 ocurre cinco veces, entonces P (X = 8) = 5/36
- 9 ocurre cuatro veces, entonces P (X = 9) = 4/36 = 1/9
- 10 ocurre tres veces, entonces P (X = 10) = 3/36 = 1/12
- 11 ocurre dos veces, entonces P (X = 11) = 2/36 = 1/18
- 12 ocurre solo una vez, entonces P (X = 12) = 1/36
Una gama de valores
También podríamos calcular la probabilidad de que un azar
La variable adquiere un rango de valores.
Ejemplo (continuación) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones
es 5, 6, 7 u 8?
En otras palabras: ¿Qué es P (5 ≤ X ≤ 8) ?
Resolviendo
También podemos resolver una ecuación de variable aleatoria.
Ejemplo (continuación) Si P (X = x) = 1/12, ¿cuál es el valor de x?
Mirando a través de la lista anterior encontramos:
- P (X = 4) = 1/12, y
- P (X = 10) = 1/12
Entonces hay dos soluciones: x = 4 o x = 10
Observe los diferentes usos de X y x :
- X es
la variable aleatoria “La suma de las puntuaciones en los dos dados”. - x es un valor que X puede tomar.
Continuo
Las variables aleatorias pueden ser discretas
o continuo :
- Los datos discretos solo pueden tomar ciertos valores (como 1,2,3,4,5)
- Los datos continuos pueden tomar cualquier valor dentro de un rango (como la altura de una persona)
Todos nuestros ejemplos han sido discretos.
Obtenga más información en Variables aleatorias continuas .
Media, varianza, desviación estándar
También puede aprender cómo encontrar la Media, varianza y desviación estándar de variables aleatorias .
Resumen
- Una variable aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio.
- El conjunto de valores posibles se denomina Espacio de muestra .
- A
La variable aleatoria recibe una letra mayúscula, como X o Z. - Aleatorio
Las variables pueden ser discretas o continuas.