Vectores
Este es un vector:
Un vector tiene magnitud (tamaño) y dirección :
La longitud de la línea muestra su magnitud y la punta de la flecha apunta en la dirección.
Podemos agregar dos vectores uniéndolos cabeza a cola:
Y no importa en qué orden los agreguemos, obtenemos el mismo resultado:
Ejemplo: un avión está volando, apuntando hacia el norte, pero hay un viento que viene del noroeste.
Los dos vectores (la velocidad causada por la hélice y la velocidad del viento) dan como resultado una velocidad de avance ligeramente más lenta que se dirige un poco al este del norte.
Si observaras el avión desde el suelo, parecería que se desliza un poco hacia los lados.
¿Alguna vez has visto que eso suceda? Tal vez haya visto pájaros luchando contra un fuerte viento que parece volar de lado. Los vectores ayudan a explicar eso.
Velocidad , aceleración , fuerza y muchas otras cosas son vectores.
Restando
También podemos restar un vector de otro:
- primero invertimos la dirección del vector que queremos restar,
- luego agréguelos como de costumbre:
a – b
Notación
Un vector a menudo se escribe en en negrita , como a o b .
| Un vector también se puede escribir como las letras de su cabeza y cola con una flecha encima, como esta: |
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Cálculos
Ahora … ¿cómo hacemos los cálculos?
La forma más común es dividir primero los vectores en partes x e y, así:
El vector a se divide en
los dos vectores a x y a y
(Nosotros vemos más tarde cómo hacer esto)
Adición de vectores
Entonces podemos agregar vectores agregando las partes x y agregando las partes y :
El vector (8,13) y el vector (26,7) se suman al vector (34,20)
Ejemplo: agregar los vectores a = (8,13) y b = (26,7)
c = a + b
c = (8,13) + (26,7) = (8 + 26,13 + 7) = (34,20)
Cuando separamos un vector como ese, cada parte se llama componente :
Restando vectores
Para restar, primero invierte el vector que queremos restar, luego suma.
Ejemplo: restar k = (4,5) de v = (12,2)
a = v + – k
a = (12,2) + – (4,5) = (12,2) + (−4, −5) = (12−4,2−5) = (8 , −3)
Magnitud de un vector
La magnitud de un vector se muestra mediante dos barras verticales a cada lado del vector:
| a |
O puede escribirse con barras verticales dobles (para no confundirlo con el valor absoluto):
|| a ||
Utilizamos Teorema de Pitágoras para calcularlo:
| a | = √ (x 2 + y 2 )
Ejemplo: ¿cuál es la magnitud del vector b = (6,8)?
| b | = √ (6 2 + 8 2 ) = √ (36 + 64) = √100 = 10
Un vector con magnitud 1 se llama Vector de unidad .
Vector vs escalar
Un escalar tiene magnitud (tamaño) solamente .
Escalar: solo un número (como 7 o −0.32) … definitivamente no es un vector.
Un vector tiene magnitud y dirección , y a menudo se escribe en negrita , por lo que sabemos que no es un escalar:
- entonces c es un vector, tiene magnitud y dirección
- pero c es solo un valor, como 3 o 12.4
Ejemplo: k b es en realidad el escalar k veces el vector b .
Multiplicando un vector por un escalar
Cuando multiplicamos un vector por un escalar, se llama “escalar” un vector, porque cambiamos qué tan grande o pequeño es el vector.
Ejemplo: multiplicar el vector m = (7,3) por el escalar 3
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a = 3 m = (3 × 7,3 × 3) = (21,9) |
Todavía apunta en la misma dirección, pero es 3 veces más largo
(Y ahora sabes por qué los números se llaman “escalares”, porque “escalan” el vector hacia arriba o hacia abajo).
Multiplicando un Vector por un Vector (Producto de Punto y Producto Cruzado)
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¿Cómo multiplicamos dos vectores juntos? ¡Hay más de una forma!
(Lea esas páginas para más detalles.) |
Más de 2 dimensiones
Los vectores también funcionan perfectamente bien en 3 o más dimensiones:
El vector (1,4,5)
Ejemplo: agregar los vectores a = (3,7,4) y b = (2,9,11)
c = a + b
c = (3,7,4) + (2,9,11) = (3 + 2,7 + 9,4 + 11) = (5,16,15) [19459004 ]
Ejemplo: ¿cuál es la magnitud del vector w = (1, −2,3)?
| w | = √ (1 2 + (−2) 2 + 3 2 ) = √ (1 + 4 + 9) = √14
Aquí hay un ejemplo con 4 dimensiones (¡pero es difícil de dibujar!):
Ejemplo: restar (1,2,3,4) de (3,3,3,3)
(3,3,3,3) + – (1,2,3,4)
= (3,3,3,3) + (−1, −2, −3, −4)
= (3−1,3−2,3−3,3−4)
= (2,1,0, −1)
Magnitud y dirección
Podemos conocer la magnitud y dirección de un vector, pero queremos sus longitudes x e y (o viceversa):
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<=> |  |
| Vector a en polar Coordenadas |
Vector a en cartesiano Coordenadas |
Puede leer cómo convertirlos en Coordenadas polares y cartesianas , pero aquí hay un resumen rápido:
| De coordenadas polares (r, θ ) a coordenadas cartesianas (x, y) |
De coordenadas cartesianas (x, y) a coordenadas polares (r, θ) |
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|---|---|---|
|
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Un ejemplo
Sam y Alex están tirando de una caja.
- Sam tira con 200 Newtons de fuerza a 60 °
- Alex tira con 120 Newtons de fuerza a 45 ° como se muestra
¿Cuál es la fuerza combinada y su dirección?
Agreguemos los dos vectores cabeza a cola:
Primero convierta de polar a cartesiano (a 2 decimales):
Vector de Sam:
- x = r × cos ( θ ) = 200 × cos (60 °) = 200 × 0.5 = 100
- y = r × sin ( θ ) = 200 × sin (60 °) = 200 × 0.8660 = 173.21
Vector de Alex:
- x = r × cos ( θ ) = 120 × cos (−45 °) = 120 × 0.7071 = 84.85
- y = r × sin ( θ ) = 120 × sin (−45 °) = 120 × -0.7071 = −84.85
Ahora tenemos:
Agregarlos:
(100, 173,21) + (84,85, −84,85) = (184,85, 88,36)
Esa respuesta es válida, pero volvamos a polar ya que la pregunta era polar:
- r = √ (x 2 + y 2 ) = √ (184.85 2 + 88.36 2 ) [ 19459008] = 204.88
- θ = tan −1 (y / x) = tan −1 (88.36 / 184.85) = 25.5 ° [ 19459026]
Y tenemos este resultado (redondeado):
Y se ve así para Sam y Alex:
¡Podrían obtener un mejor resultado si estuvieran hombro con hombro!